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Quadratische Pyramide Skizze:


Pyramide-1-






Bezeichnungen:


a = Seitenlänge der Grundfläche

h = Körperhöhe

ha = Seitenflächenhöhe

s = Außenkante


Eigenschaften der quadratischen Pyramide:

Die Grundfläche ist quadratisch und hat eine Spitze.

Die höhe ist die Strecke zwischen dem mittelpunkt des quadrates und der Spitze.

Die Mantelfläche besteht aus 4 deckungsgleichen Dreiecken.

Eine Pyramide hat 5 Ecken, 8 Kanten und 5 Flächen.



Formeln der quadratischen Pyramide:

Oberfläche: O = Gf + M oder O = a² + a * ha * 2

Volumen: V = Gf * h  : 3 oder V = a² * h : 3

Mantel: M = a * ha * 2

Grundfläche: Gf = a² (Quadrat)


Pythagoras der quadratischen Pyramide:

Pyramide-Quadrat-1d-1-
Pyramide-Quadrat-1e-1-
Pyramide-Quadrat-1f-1-


Körperhöhe:

h² = ha² - (a/2)² oder h² = s² - (d/2)² wobei d = a * √2




Seitenflächenhöhe:

ha² = h² + (a/2)² oder ha² = s² - (a/2)²




Außenkante:

s² = ha² + (a/2)² oder s² = h² + (d/2)² wobei d = a * √2






Formeln Umkehraufgaben:


Oberfläche: O = Gf + M

⇒ M = O - Gf

⇒ Gf = O - M

Oberfläche: O = a² + a * ha * 2

⇒ ha = (O - a²) : 2a

Volumen: V = a² * h  : 3

⇒ a = √(3 * V : h)


⇒ h = 3 * V : a²


Mantel: M = a * ha * 2

⇒ a = M : (2 * ha)

⇒ ha = M : (2 * a)

Grundfläche: Gf = a²

⇒ a = √Gf


Beispiel:

Pyramide mit quadratischer Grundfläche: a = 4,5 cm und h = 6 cm

Fragestellung: a) Höhe ha (cm) = ? b) Seitenkante s (cm) = ?



Lösung:

Pyramide-schrgriss-1-1-





a) Berechnung der Höhe ha:

ha = √ h² + (a/2)²

ha = √ (6² + 2,25²) Anmerkung: a/2 = 4,5 : 2 = 2,25

ha = 6,41 cm

b) Berechnung der Seitenkante s:

s = √ ha² + (a/2)²

s = √ 6,41² + 2,25²

s = 6,79 cm

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